TANGRAM

TANGRAM

El Tangram, es un juego chino muy antiguo, que consiste en formar siluetas de figuras con las siete piezas dadas sin solaparlas. Las 7 piezas, llamadas "Tans", son las siguientes:

·         5 triángulos, dos construidos con la diagonal principal del mismo tamaño, los dos pequeños de la franja central también son del mismo tamaño.

·         1 cuadrado

·         1 paralelogramo o romboide

Normalmente los "Tans" se guardan formando un cuadrado.

Existen varias versiones sobre el origen de la palabra Tangram, una de las más aceptadas cuenta que la palabra la inventó un inglés uniendo el vocablo cantonés "tang" que significa chino, con el vocablo latino "grama" que significa escrito o gráfico. Otra versión dice que el origen del juego se remonta a los años 618 a 907 de nuestra era, época en la que reinó en China la dinastía Tang de donde se derivaría su nombre.

En cuanto a las figuras que pueden realizarse con el Tangrama, la mayor parte de los libros europeos copiaron las figuras chinas originales que eran tan sólo unos cientos. Para 1900 se habían inventado nuevas figuras y formas geométricas y se tenían aproximadamente 900. Los primeros libros sobre el tangrama Se concedía más atención al juego mismo y sus siete componentes, de forma que el tangrama era producido y vendido como un objeto: tarjetas con las siluetas, piezas de marfil y envoltorios en forma de caja, etc. En los libros aparecían unos cuantos cientos de imágenes, en su mayor parte figurativas, como animales, casas y flores, junto a una escasa representación de formas muy extrañas.

Argumento: Durante la clase realizamos otra actividad dinámica, jugamos Tangram, el cual consiste en formar siluetas de figuras con las siete piezas dadas sin solaparlas, las piezas son: 5 triángulos, 1 cuadrado y un romboide, dicho juego fue parte de nuestro laboratorio, debido a que formamos casi todas las figuras que se nos indicaron logramos una nota satisfactoria.

JENGA

EL JENGA

El jenga o La Torre es un juego de habilidad física y mental, en el cual los participantes (que pueden ser de dos en adelante), deben retirar bloques de una torre por turnos y colocarlos en su parte superior, hasta que ésta se caiga. Se juega con 54 bloques de madera que se ubican en formación cruzada por niveles de tres bloques juntos (deben tener la proporción indicada, de manera que formen un cuadrado al colocarse juntos) hasta conformar una torre de 18 niveles de altura. En su turno, cada jugador deberá retirar un bloque de cualquiera de los niveles inferiores de la torre utilizando solo dos dedos y procurando que no se caiga la torre, y colocarlo en el nivel superior para completarlo y hacer crecer su tamaño.

Gana el jugador que realizó la jugada anterior a la que hizo que se derribara la torre. Se debe esperar cinco segundos después del movimiento del jugador anterior, de lo contrario, si se toca antes la torre y esta cae, se pierde. Pero siempre hay que acordarse que tenemos que usar 2 dedos.

Este juego lo inventó Leslie Scott en Ghana(Africa) en 1974, y en ese momento se le llamaba 'Takoradi Bricks', pero en 1980 ya se le llama Jenga en la Universidad de Oxford en Inglaterra.

Argumento: Durante la clase realizamos una actividad muy dinámina, formamos grupos de cinco integrantes y jugamos jenga el cual requiere de habilidad física y mental, consiste en retirar bloques y colocarlos en la parte superior hasta que la torre se caiga, fue creado en Ghana(África) por Leslie Scott, originalmente fue llamado Takoradi Bricks.

CONJUNTOS

CONJUNTOS

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

Argumento: Durante la clase nos presentaron varios conjuntos básicos con su simbología, aprendimos que un conjunto es la agrupación de elementos, que poseen una o varias características en común. Para saber si un conjunto está bien definido habrá que atender a la siguiente regla: cuando la pertenencia de un elemento a un conjunto es clara, el conjunto estará bien definido. Por ejemplo, nadie dudaría de incluir el Domingo entre los días de la semana, pero el conjunto de personas rubias no está bien definido, pues hay dudas si determinadas personas pertenecen o no al conjunto, pues la calidad de rubio no es precisa.

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

Argumento: En el segundo examen parcial nos plantearon gráficas en la cuales debíamos determinar ciertos datos para los cuales era necesario realizar reglas de tres y proporciones, también se evaluaron temas como las leyes de Morgan y valores de verdad, fue una prueba muy completa y compleja debido a los temas de proposiciones, a pesar de ésto la nota fue satisfactoria, se resolvieron dudas en clase y se revisó cada inciso de la prueba.

LEYES DE MORGAN

LEYES DE MORGAN

Las reglas se pueden expresar en español como:

La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones. La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones. o informalmente como: "no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)" y también, "no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"

Las Proposiciones:

Una proposición es una afirmación que puede recibir un valor de verdad falso (F), o bien verdadero (V), pero no ambos a la vez. Su denotación generalmente la encontramos con las letras (p, q, r)

Conectores Lógicos:

Podemos formar nuevas proposiciones a partir proposiciones dadas mediante el uso de conectivos lógicos. Algunos de ellos son: ^ “y” conjunción v “o” disyunción -> “si —, entonces” implicación <-> “si y sólo si” doble implicación ¬ “no” negación

Las Leyes de Morgan permiten:

Son una parte de la Lógica preposicional, analítica, y fueron creadas por Augustus de Morgan. Estas declaran las reglas de equivalencia en las que se muestran que dos proposiciones pueden ser lógicamente equivalentes. Las Leyes de Morgan permiten: El cambio del operador de conjunción en operador de disyunción y viceversa. Las proposiciones conjuntivas o disyuntivas a las que se aplican las leyes de Morgan pueden estar afirmadas o negadas (en todo o en sus partes).

Casos:

Ø  ¬(P ^ Q) ≡ (¬P v ¬Q) Si nos encontramos con una proposición conjuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición disyuntiva con cada uno de sus miembros negados

Ø  ¬(P v Q) ≡ (¬P ^ ¬Q) Si nos encontramos con una proposición disyuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición conjuntiva con cada uno de sus miembros negados

Ø  (P ^ Q) ≡ ¬ (¬ P v ¬ Q) Si nos encontramos con una proposición conjuntiva afirmada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición disyuntiva negada en su totalidad y en sus miembros.

Ø  (P v Q) ≡ ¬(¬P ^ ¬Q) Si nos encontramos con una proposición disyuntiva afirmada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición conjuntiva negada en su totalidad y en sus miembros.

       

Argumento: Durante la clase aprendimos las Leyes de Morgan las cuales indican que la negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones y la negación de una disyunción es la conjunción de las negaciones,  dichas normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de sí vía negación.

NEGACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN

NEGACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN

En lógica y matemática, la negación, también llamada complemento lógico, es una operación sobre proposiciones, valores de verdad, o en general, valores semánticos. Intuitivamente, la negación de una proposición es verdadera cuando dicha proposición es falsa, y viceversa. En lógica clásica la negación está normalmente identificada con la función de verdad que cambia su valor de verdadero a falso y viceversa. En Lógica intuicionista, de acuerdo a la interpretación BHK, la negación de una proposición p es la proposición cuyas pruebas son las refutaciones de p. En la semántica de Kripke, donde los valores semánticos de las fórmulas son conjuntos de posibles mundos, la negación de p, es su complemento.

La negación clásica es una operación sobre un valor de verdad, típicamente, el valor de una proposición, que produce un valor de verdadero cuando su operando es falso, y un valor de falso cuando su operando es verdadero. Por tanto, si el enunciado A es verdadero, entonces ¬A (pronunciado "no A") sería consecuentemente falso; y lo contrario, si¬A es verdadero, entonces A sería falso.

La tabla de verdad de ¬p es la siguiente:

Tabla de verdad de ¬p
p	¬p
Verdadero	Falso
Falso	Verdadero

La negación clásica se puede definir en términos de otras operaciones lógicas. Por ejemplo, ¬p se puede definir como p → F, donde "→" es una implicación lógica y F es una falsedad absoluta. Por el contrario, se puede definir F como p & ¬p para cualquier proposición p, donde "&" es una conjunción lógica. La idea aquí es que cualquier contradicción es falsa. 

Argumento: Durante la clase aprendimos que la negación es una operación mediante la cual convertimos una proposición verdadera en falsa, y viceversa. Hay muchas maneras de negar algo, como por ejemplo:

El dinero no es la felicidad.

Es falso que el dinero es la felicidad.

No es el caso que el dinero es la felicidad.

El dinero es cualquier cosa menos la felicidad.

Es inaceptable decir que el dinero es la felicidad.

Delira quien sostiene que el dinero es la felicidad.

No se afirma con verdad que el dinero es la felicidad.

Todas éstas son negaciones de la oración atómica “El dinero es la felicidad”.

PRUEBA COORDINADA

PRUEBA COORDINADA

Argumento: Durante la prueba coordinada nos plantearon problemas en los cuales necesitábamos utilizar estrategias como: método de Pólya, ensayo y error, búsqueda de un patrón, cuadro o lista, trabajar hacia atrás y tablas de verdad, fue una prueba bastante completa en la que se examinaron nuestras habilidades y conocimientos en la resolución de problemas en la cual se alcanzó una nota satisfactoria.

TABLAS DE VERDAD

Tablas de Verdad

Las tablas de verdad se utilizan en lógica simbólica para establecer la validez de las proposiciones. La construcción de tablas de verdad simplifica la tarea de determinar la verdad o falsedad de una proposición.

Tabla de verdad de la conjunción

La conjunción de dos proposiciones simples p^q (se lee ”p y q”),sólo es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas. La conjunción (^), es una conectiva lógica que se denomina el operador lógica AND y representa el producto lógico.

Tabla de verdad de la disyunción

La disyunción de la proposiciones simples pvq (se lee: “p o q”) es falsa si ambas son falsas. El operados lógico disyunción también se denomina OR y representa la suma lógica.

Tabla de verdad de la negación

Para negar una proposición simple se emplea el símbolo ¬. Se lee “no p”, y donde si p es verdadera (1), si es falsa (0) y viceversa. El operador de negación también se denomina NOT por razones obvias.

Tabla de verdad del condicional material (implicación)

En la implicación el primer termino se denomina antecedente o hipótesis y el segundo consecuente o tesis. La implicación es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. La implicación no tiene denominación especial como los casos anteriores pero puede expresarse en función de estos. La implicación es una conectiva lógica que se denotara con una flecha —>. p —> q, se lee: p implica q, si p, entonces q, p es suficiente para q, o también, q es necesario para p.

Tabla de verdad del bicondicional (equivalencia)

La equivalencia es una conectiva lógica. pq, se lee: p equivalente con q; p si y solo si q; p es necesario y suficiente para q. La equivalencia es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas o si ambas son falsas.

Argumento: Durante la clase vimos un tema que muchas veces puede ser confuso, "Tablas de verdad", dichas tablas se utilizan para establecer la validez de las proposiciones, a diario sin que nos demos cuenta aplicamos muchas proposiciones,  ya que si pensamos, cuando nos levantamos y miramos el reloj si es temprano para ir a trabajar o a la universidad, colegio, etc. A  donde tengamos que ir (si tenemos que hacerlo), entonces lógicamente sabemos que es lo que se puede hacer en el tiempo que tenemos, si nos da tiempo para desayunar, preparar algo para el trabajo, universidad, colegio,  etc. También estimamos el dinero que vamos a necesitar para llevar a donde tengamos que ir, hasta volver a casa, si nos alcanza o no? , cuando viene un auto y queremos cruzar la calle, estimamos ¿Si viene rápido, a que distancia?  y si se nos presenta un problema, vemos la manera mas lógica de resolverlo.

¿JUEGOS MENTALES?

Juegos Mentales

RESOLUCIÓN DE KAKUROS

Kakuro

El Kakuro es un pasatiempo derivado del Sudoku, aunque no tan conocido como éste. Tiene reglas similares a las del Sudoku y otras reglas similares a los crucigramas o los autodefinidos.

En el Kakuro hay algunas casillas oscuras en cuyas esquinas aparecen ciertos números. Entonces, tal como se hace en los autodefinidos, tendremos que rellenar las casillas hacia la derecha o hacia abajo de tal modo que la suma de los números que coloquemos ahí sea el número que aparece en la casilla oscura. De ahí que a los Kakuros se les conozca también con el nombre de “Sumas Cruzadas”.

La regla que hace que este pasatiempo se asemeje al Sudoku dice que en cada una de estas sumas no podremos repetir el mismo número. Por supuesto, los únicos números que pueden utilizarse en el Kakuro son los números del 1 al 9.

Técnicas para resolver kakuros

Conocer las combinaciones:

Conocer las combinaciones es la clave para volverte competente y resolver rompecabezas Kakuro. Diferentes combinaciones de números se suman para dar el número clave dependiendo del número de cuadrados en la clave. Por ejemplo, un número clave de 13 con dos cuadrados tiene tres combinaciones: 9 y 4; 8 y 5 y 7 y 6. Con tres cuadrados, existen siete combinaciones que hacen el número clave de 13; 1,3,9; 1,4,8; 1,5,7; 2,3,8; 2,4,7; 2,5,6; y 3,4,6. Familiarizarte con estas combinaciones posibles o contar con una gráfica que las muestre, te permite eliminar inmediatamente los dígitos en cualquiera de las combinaciones.

Buscar las claves fáciles:

Cuando inicias el rompecabezas, busca las claves que solo tienen una o dos posibles combinaciones y inmediatamente acomódalas como sabes. En particular, busca las claves con solo dos cuadrados que tengan números de claves muy bajos o muy altos, ya que estos tienen las menores combinaciones. Periódicamente revisa el rompecabezas para ver si hay cuadrados vacíos rodeados de cuadrados completados, ya que directamente podrás calcular la solución correcta del cuadrado. No te empantanes tratando de resolver las claves difíciles o aquellas con muchas combinaciones. Siéntete libre de moverte alrededor del rompecabezas, haciendo las claves más fáciles primero.

Intersecciones:

El cuadrado en la intersección de una clave vertical u horizontal es en ocasiones más fácil de resolver. El número en el cuadrado de intersección debe de estar en las combinaciones de ambas claves, por lo que tendrás que eliminar los números relacionados a solo una de las claves. Para hacerlo más fácil, selecciona claves que tengan pocas combinaciones. Expande esto para ver las claves que tienen intersección con varias otras claves. Cada cuadro de intersección debe tener un solo número importante para ambas claves de intersección.

Lápiz:

Un lápiz es tu mejor herramienta al resolver los rompecabezas Kakuro. Cuando tienes tan solo las claves difíciles o aquellos con muchas combinaciones posibles, utiliza un lápiz para escribir los dígitos posibles en cada cuadrado. Al cruzar cada número usado, te quedará la solución correcta. Busca dos cuadrados en una clave que tenga el mismo par de números escritos. Como estos dos números deben de estar en estos cuadrados en particular, crúzalos para los otros cuadrados en la clave. Si conoces la solución de uno de los cuadrados en la clave, elimina las combinaciones que no contenga este número. Asegúrate de que las marcas de lápiz en los otros cuadrados de la clave contengan solo los dígitos de las combinaciones restantes.

Argumento: Durante la clase aprendimos que el kakuro se deriva del sodoku y que para su resolución debemos tomar en cuenta que únicamente debemos utilizar números del 1 al 9, sin repetirlos al formar las sumas, a los kakuros también se les conoce como "Sumas Cruzadas". La popularidad de Kakuro en Japón es inmensa, sólo después del famoso Sudoku. 

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULO MÁGICO

Resolución de Triángulo Mágico

DESPEJE DE FÓRMULAS

Despejes de fórmulas

Según el celebre libro "Álgebra Elemental" de Baldor, una fórmula es la expresión de una ley o de un principio general por medio de símbolos o letras. Citando las ventajas del uso de las fórmulas que nos muestra Baldor, tenemos:

1. Expresan de forma breve una ley o un principio general, esto es sin tantas palabras que tengamos que interpretar. Es más fácil decir F=m.a que: la fuerza aplicada es directamente proporcional a la masa de cuerpo multiplicada por la aceleración que este adquiere por motivo de la fuerza aplicada.
2. Son fáciles de recordar. Creo que no es necesario decir ningún ejemplo.
3. Su aplicación es muy fácil, pues para resolver un problema por medio de la fórmula adecuada, basta sustituir las letras por lo valores en el caso dado.

Despeje de variables en una fórmula 

Reglas Para despejar::

1.- Lo que está sumando pasa restando.

2.- Lo que está restando pasa sumando

3.- Lo que está multiplicando pasa dividiendo4.- Lo que está dividiendo pasa multiplicando

5.- Si está con exponente pasa con raíz.

Con el siguiente procedimiento estarás en capacidad de despejar cualquier variable

en muchas fórmulas y ecuaciones de física, química, matemáticas etc.

Estos pasos deben aplicarse en el orden en que se presentan para obtener un despeje correcto.

1. Si existen denominadores, para eliminarlos debes hallar el común denominador AAMBOS LADOS de la fórmula.

2. Ahora lleva TODOS los términos que tengan la variable a despejar a un sólo lado de la fórmula, y los demás términos al otro lado; debes tener en cuenta que cuando pasas de un lado al otro los términos que estaban sumando pasan a restar y viceversa.

3.Suma los términos semejantes (si se puede).

4.TODOS los números y/o variables que acompañan la incógnita a despejar pasan 

al otro lado a realizar la operación contraria: si estaban dividiendo pasan a multiplicar

y viceversa.( OJO: En este caso NUNCA se cambia de signo a las cantidades que 

pasan al otro lado)

5.Si la variable queda negativa, multiplica por (-1) a AMBOS lados de la fórmula para

 volverla positiva (en la práctica es cambiarle el signo a TODOS los términos de la 

fórmula)

6.Si la variable queda elevada a alguna potencia (n), debes sacar raíz (n) a AMBOS

lados de la fórmula para eliminar la potencia. Ten en cuenta que no siempre es 

necesario aplicar todos los pasos para despejar unaincógnita.

Ejemplo: Despeje x en la siguiente ecuación x³ /3 + 4y = y² + x² 

Aplicando los pasos que se explicaron, tenemos: 

1.   2x² + 24y   =  3y + 6x²         El M.C.M entre 3 y 2 es 6.

               6                  6

2.  2x² - 6x²   =    3y  - 24y        Se agrupan términos semejantes

3.  - 4x² =  - 24y                       Se simplifican los términos semejantes.

4.    x²  =  -  24y                      Se despeja la variable de interés (la x).

                  - 4

5. Se despeja x extrayendo raíz a ambos lados

En la ecuación x= (at²)/2

a)Despejar “a” 2x/a

Solución:

x = (at²)/2

2x = at²

(2x)/t² = a  --> a = 2x/t²

b) Despejar "t"

Solución

x = (at²)/2

2x = at²

2x/a = t²

√t =  √2x/a  ---> t = √2x/a

Argumento: Durante la clase resolvimos varios ejemplos de problemas en los cuales para su resolución era necesario despejar alguna fórmula, dicho proceso en ocasiones es muy complejo por lo que es necesario analizar correctamente el problema.