ESTRATEGIA: DIAGRAMA O FIGURA

Diagrama o Figura

En la mayoría de problemas es útil dibujar un diagrama o esquema, e identificar en el los datos e incógnitas del problema. En la figura se colocan todos los datos conocidos que da el problema y los datos que se pretenden encontrar, esto nos ayuda a tener una mejor idea y visualización de lo que el problema pide.

Según George Polya podemos utilizar 4 pasos para solucionar el problema.

1. Comprender el problema.

Debemos entender los que el problema nos esta diciendo por que dependiendo de eso es el planteamiento que le vamos a dar al problema.

2. Formular un plan.

Para entender el procedimiento lógico que lleve a la solución, se utiliza la estrategia de trazar un diagrama o figura que representara lo que el problema nos dice.

3. Llevar a cabo el plan.

Se puede trazar un diagrama o una figura para que se nos haga mas fácil solucionar el problema.

4. Revisar y comprobar.

Se comprueba la respuesta para ver que esta sea razonable, que satisfaga las condiciones iniciales del problema.

Ejemplo 1:

Caminando por las laderas un caracol tiene que escalar un muro vertical de7 metros de altura. Cada dia conseguía escalar 4 metros, pero como el muro era húmedo y resbaladizo, cada noche resbalaba 3 metros hacia abajo. ¿Cuántos días necesito el caracol para llegar a lo alto del muro?

Solución del problema utilizando los 4 pasos de Polya:

1. Se debe determinar en cuantos días el caracol escala un muro de 7 metros de altura, con la condición de que en el día escala 4 metros y en la noche resbala 3 metros.

2. Para entender el procedimiento lógico que lleve a la solución, se utilizara la estrategia de trazar un diagrama o figura que represente el recorrido del caracol día a día.

3. Se procede a trazar un diagrama del recorrido de los días.

Día 1 Día 2 Día 3 Día 4 

2m

3m

4m

5m m

7m

6m

0m

1m

4m

5m m

7m

6m

0m

2m

3m

7m

6m

6m

7m

5m m

5m m

1m

4m

3m

2m

1m

0m

0m

1m

2m

3m

4m

Recorrido de día 

Recorrido de noche 

Solución: El caracol alcanza la cima del muro en 4 días y 3 noches.

4. Se comprueba por medio del diagrama o figura, que en el cuarto día al escalar los 4 metros el caracol alcanza los 7 metros de altura.

Argumento: Durante la clase aprendimos a utilizar la estrategia de hacer un diagrama o figura, que tiene como objetivo proporcionarnos una mejor visualización del problema para su pronta resolución, dicha estrategia es una de las más utilizadas debido a su efectividad, incluso podremos utilizarla conjuntamente con otras estrategias.

PROBLEMAS PARA TRABAJAR

Problemas para trabajar

1.- Triángulos.-¿Cuántos triángulos hay en la red inferior? ¿Cuántos  tendrán

 un vértice hacia arriba?. ¿Cuántos  tendrán un vértice hacia abajo?

2.- Problema.- ¿Cuántos martes y trece hay en el año

3.- Fechas capicúas.-El 19 de Noviembre es una fecha capicúa: 19-11-91 (se lee igual hacia atrás que hacia delante)

     -¿Cuál será la siguiente fecha capicúa?

     -¿Qué años producen el máximo  de fechas capicúas?

     -¿Qué años no producen ninguna?

Nota : observar las diferencias entre 01 ó 1 para los meses y días.

    Soluciones:

1.-170,  120,  50

2.- por ejemplo: en el año 2008 hay un martes y trece 

3.- Escribiendo con una cifra: - la próxima fecha capicúa será 29-1-92

       El máximo nº de fechas capicúas se producirá los años terminados en 1 ó 2 ( 10 fechas)

       No producen ninguna los  terminados en 0-4-5-6-7-8-9

Argumento: Durante la clase resolvimos varios ejemplos en los cuales, para su resolución aplicamos todas las estrategias vistas en clase anteriormente, por lo cual, comprendimos que no siempre se puede aplicar una misma estrategia para resolver problemas, se debe comprender y razonar adecuadamente para aplicar la estrategia correcta.

ESTRATEGIA: TRABAJAR HACIA ATRÁS

Trabajar hacia atrás

También   podríamos  llamar  a  esta   estrategia,  considerar el problema resuelto.

Ocurre a veces, de igual forma que observando un cuadro, que también un problema se ve mejor cuando se mira desde otra perspectiva distinta. Si te colocas en la situación final y vas retrocediendo hasta la inicial, el camino es, a veces, más claro. 

Se utiliza en los casos en los que conocemos lo que denominamos objetivo o resultado final y el problema consiste en determinar el conjunto correcto de operaciones que nos llevará desde el estado inicial hasta el objetivo.

Frecuentemente lo más fácil es partir del objetivo y trabajar marcha atrás hasta el estado inicial. Una vez conseguido esto, la solución es simplemente el estado inicial,  la misma serie de pasos al revés.

Estos problemas también pueden resolverse hacia delante, utilizando  ensayo y error en procesos normalmente laboriosos y trabajando marcha atrás simplifica enormemente el camino que nos conduce a la solución.

Al imaginar el problema resuelto, ya que éste es el punto de partida para poder aplicar esta estrategia, aparecen los datos más cercanos a lo que buscamos y más fácilmente encontramos el camino desde donde estamos hasta donde queremos llegar.

Ejemplos:

Juego para tres.-Tres personas deciden jugar a tirar monedas a ver si coinciden en cara o cruz. Cada uno arroja una moneda, y el que no coincide con los otros dos pierde. El perdedor debe doblar la cantidad de dinero que cada componente tenga en ese momento. Después de tres jugadas, cada jugador ha perdido una vez y tiene 240 pts. ¿Cuánto tenía cada uno al principio?

Solución

Desarrollo del juego	Jugador nº 1	Jugador nº 2	Jugador nº 3
Después de la 3ª jugada	240	240	240
Después de la 2ª jugada	120	120	480	Perdió el 3º
Después de la 1ª jugada	60	420	240	Perdió el 2º
Al principio	390	210	120	Perdió el 1º

Problemas para trabajar

1.- Jaimito generoso.- Jaimito sale con un montón de cromos y vuelve sin ninguno. Su madre le pregunta que ha hecho con los cromos.

-A cada amigo que me encontré le dí la mitad de los cromos que llevaba más uno.

-¿Con cuántos amigos te encontraste? 

- Con seis

¿Con cuántos cromos salió Jaimito?.

2.-Llegar a 100.-Es un juego para dos jugadores. Los jugadores eligen por turnos un número entero entre 1 y 10, y lo suman a los números elegidos anteriormente. El primer jugador  que consigue  sumar exactamente 100 es el ganador. ¿Puedes hallar alguna estrategia ganadora?

3.-Un triángulo con monedas.-

Se tiene un triángulo formado por diez

monedas.¿Cuál es el mínimo número de monedas que hay que cambiar de

sitio para que el triángulo quede en posición invertida?

4.- El gurú.-Un día, mientras meditaba, un gurú cayó al fondo de un pozo de 300 metros. Después de intentarlo todo para salir, el gurú decidió escalar cada día 30 metros y cada noche se resbalaba 20m. hacia abajo. ¿Cuánto tardó el gurú en salir del pozo?

Soluciones:

1.-126

2.-La secuencia ganadora será 1, 12, 23, 45, 67, 78, 89 y 100

3.- 3

4.-28

Argumento: Durante la clase aprendimos que esta estrategia consiste en que, a partir del dato final o solución, se debe pensar hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos originales. Se procede a recorrer la secuencia de pasos al contrario para ir de los datos conocidos a la solución.

ESTRATEGIA: CUADRO O LISTA

Cuadro o Lista

Argumento:

Ésta estrategia consiste en colocar los datos del problema en un cuadro o lista e identificar en él los datos e incógnitas del problema, durante la clase aprendimos a utilizar dicha estrategia con la realización de varios ejemplos en los cuales pudimos observar que al utilizar un cuadro o lista, podemos visualizar mejor la solución del problema.

ESTRATEGIA: BUSCAR UN PATRÓN

Buscar un Patrón

Instrucciones:

1.    Lee un problema matemático dado y desglósalo en componentes aparte como sea necesario. Por ejemplo, si se requiere una acción matemática para completar otra, esto cuenta como un componente aparte.

2.    Asegúrate de entender cada sección del problema. Si es un problema de palabras, debes identificar longitudes, medidas o valores para objetos específicos y escribirlos. También deberías identificar qué variable estás intentando resolver.

3.    Busca repeticiones numéricas en cada sección y escribe esas ideas en papel, justificando las razones por llegar a tu conclusión de por qué ves un patrón. Por ejemplo, si tienes una serie de números que muestra 0, 3, 8, 15, 24, 35 y debes continuar la secuencia numérica tú solo, debes idear diferentes ecuaciones para encontrar esos números y calcular sus resultados.

4.    Escoge una estrategia que será usada para prever si el patrón continuará o no en otras series de datos con el problema. Usa tablas, cuadros o gráficos para ver diferentes variables de datos dentro del problema. Desarrolla diferentes ecuaciones para representar el cálculo del patrón.

5.    Calcula tus resultados, que requerirán prueba y error con las ecuaciones que ideaste en el paso previo. Para el problema matemático presentado en el Paso 3, puedes escribir los número 1 al 6 en una columna lateral que encuentre un patrón secuencial como 0*2, 1*3, 2*4, 3*5, 4*6, 5*7, 6*8 y así sucesivamente.

6.    Revisa la exactitud resolviendo todos los números en el problema usando la ecuación que descubriste para representar al patrón. Usa una calculadora de ser necesario y asegúrate de escribir cada paso del proceso de resolución para que puedas ver claramente cualquier repetición en las ecuaciones. Si el patrón que descubriste calcula los números dados correctamente, has encontrado un patrón matemático acertado en el problema y podrás seguir resolviéndolo con distintas variables.

7.    Traza los números en un gráfico para un entendimiento más fácil. Escribe la ecuación que represente cómo has resuelto la ecuación para el patrón. En este caso, la ecuación para continuar el patrón de 0, 3, 8, 15, 24, 35 y así sucesivamente sería (n-1)*(n+1).

8.    Sustituye variables como "n" en tu ecuación para seguir el patrón en el problema matemático.

Argumento: Durante la clase aprendí como aplicar la estrategia de buscar un patrón, la cual en muchas ocasiones nos puede ser de gran utilidad al resolver un problema, para poder utilizar esta estrategia se debe identificar inicialmente si el problema a resolver sigue una secuencia uniforme para posteriormente identificar el patrón.

ESTRATEGIA: ENSAYO Y ERROR

Ensayo y error

La expresión ensayo y error, también conocida como prueba y error, es un método heurístico para la obtención de conocimiento, tanto proposicional como procedural. Consiste en probar una alternativa y verificar si funciona. Si es así, se tiene una solución. En caso contrario —resultado erróneo— se intenta una alternativa diferente.

• Orientado a soluciones. No se intenta descubrir por qué funciona una solución. Solo se aspira a lograrla.
• Problema específico. No se trata de generalizar soluciones a otros problemas.
• No óptimo. Se enfoca a encontrar solo una solución: no todas, ni la mejor.
• Necesidad de conocimiento mínimo. Se procede en temas de los que el conocimiento en la materia, disciplina o especialidad es exiguo o nulo, por ejemplo en una investigación.
• Costoso. Se requieren diversos medios para realizarse, pero no siempre es seguro un resultado positivo.

Farmacología

Tradicionalmente, ensayo y error ha sido el método principal de obtención de nuevos medicamentos (fármacos como los antibióticos, por ejemplo). Los químicos solo prueban sustancias químicas al azar, hasta que encuentran una que aporta el efecto deseado.

Método científico

El método científico usa el ensayo y error en su formulación de hipótesis ya que, por definición, una hipótesis es solo una conjetura sujeta a verificación, es decir, que siempre es verdadera. La diferencia con una aplicación "ingenua" del método, es que los científicos seleccionan solo un conjunto reducido de alternativas a ensayar en base a sus conocimientos previos del tema. El método no está dirigido a la resolución "ciega" de un problema, sino a la identificación de la explicación o causa correcta de un proceso mediante un ensayo ceteris paribuss.

Ciencias de la información

En muchos otros métodos de búsqueda de información también se aplica la idea básica de ensayo y error. Un ejemplo de método informático en el que se emplea la técnica de ensayo y error es el método Bogosort, usado en la ordenación de listas

MÉTODO DE PÓLYA

Método de Pólya

Para resolver un problema se necesita:

Paso 1: Entender el problema

• ¿Cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son los datos?
• ¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?

Paso 2: Configurar un plan

• ¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?
• ¿Conoces algún problema relacionado con éste? ¿Conoces algún teorema que te pueda ser útil? Mira atentamente la incógnita y trata de recordar un problema que sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar.
• He aquí un problema relacionado al tuyo y que ya has resuelto ya. ¿Puedes utilizarlo? ¿Puedes utilizar su resultado? ¿Puedes emplear su método? ¿Te hace falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo?
• ¿Puedes enunciar al problema de otra forma? ¿Puedes plantearlo en forma diferente nuevamente? Recurre a las definiciones.
• Si no puedes resolver el problema propuesto, trata de resolver primero algún problema similar. ¿Puedes imaginarte un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Un problema análogo? ¿Puede resolver una parte del problema? Considera sólo una parte de la condición; descarta la otra parte; ¿en qué medida la incógnita queda ahora determinada? ¿En qué forma puede variar? ¿Puedes deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puedes pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que estén más cercanos entre sí?
• ¿Has empleado todos los datos? ¿Has empleado toda la condición? ¿Has considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema?

Paso 3: Ejecutar el plan

• Al ejercutar tu plan de la solución, comprueba cada uno de los pasos
• ¿Puedes ver claramente que el paso es correcto? ¿Puedes demostrarlo?

Paso 4: Examinar la solución obtenida

• ¿Puedes verificar el resultado? ¿Puedes el razonamiento?
• ¿Puedes obtener el resultado en forma diferente? ¿Puedes verlo de golpe? ¿Puedes emplear el resultado o el método en algún otro problema?

Argumento: Durante la sesión del curso aprendí los cuatro pasos del método de Pólya que ayudan a desarrollar las habilidades mentales y a llevar un orden adecuado que permita una correcta resolución de problemas, durante la clase resolvimos varios problemas y pudimos cerciorarnos de la efectividad de dicho método.